Stochastische Galerkin Methode - Grundlagen und Algorithmen

In vielen Wissenschaftszweigen und bei der Untersuchung angewandter Problemstellungen können oft zugrunde liegende Gesetzmäßigkeiten in Form von Differentialgleichungen angegeben werden wobei jedoch häufig Parameter und Einflussgrößen in diesen Modellen nicht vollständig oder exakt bekannt sind. Dies führt auf das Problem der Unsicherheitsquantifizierung, insbesondere die Untersuchung der Auswirkungen dieser Unsicherheiten auf Systemeigenschaften, Lösungen der Gleichungen und hinsichtlich der auf dieser Basis getroffenen Entscheidungen.

Aufgabe des Projektes ist eine mathematische Untersuchung bestimmter zufälliger Differentialgleichungen und möglicher Lösungsmethoden für sie im Rahmen einer stochastischen Unsicherheitsquantifizierung. Dabei stehen stochastische Galerkin-Methoden und die Nutzung von verallgemeinerten polynomiellen Chaosentwicklungen im Zentrum der Untersuchungen.

Es wurden die mathematischen Untersuchungen zur Existenz von Lösungen bestimmter zufälliger partieller Differentialgleichungen und zu Näherungsverfahren zu ihrer Bestimmung fortgeführt. Dabei sind unterschiedliche Variationsformulierungen von Bedeutung. Es konnte gezeigt werden, dass sich nicht immer einfach die Herangehensweise für deterministische Problemstellungen übertragen lässt. Weiterhin wurden Modellierungsansätze für die zufälligen Koeffizienten der betrachteten Gleichungen untersucht. Dies ist eine wesentliche Fragestellung der aktuellen Forschungstätigkeit auf diesem Gebiet, da exakte Verteilungen derartiger Koeffizienten üblicherweise nicht bekannt sind und sie erst mit Hilfe moderner statistischer Methoden näherungsweise bestimmt werden müssen.